Google
Câu hỏi: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \).
Phương pháp giải
Sử dụng điều kiện \(MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\).
Xen điểm thích hợp, biến đổi biểu thức tích vô hướng \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD})(\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB})\)
=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)
=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \).
Do đó \(\overrightarrow {MP} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)
Sử dụng điều kiện \(MP \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\).
Xen điểm thích hợp, biến đổi biểu thức tích vô hướng \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = 0\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD})(\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB})\)
=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)
=\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \).
Do đó \(\overrightarrow {MP} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)