Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\).
Phương pháp giải
Xen điểm thích hợp, tính tích vô hướng, chú ý các cặp véc tơ vuông góc có tích vô hướng bằng \(0\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\), \(\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left({\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {. HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC})\)
\(= \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB}) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC})} \right]\)
\(= \dfrac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\)
Xen điểm thích hợp, tính tích vô hướng, chú ý các cặp véc tơ vuông góc có tích vô hướng bằng \(0\).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\), \(\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC})\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left({\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {. HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC})\)
\(= \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB}) + \overrightarrow {AC} .(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC})} \right]\)
\(= \dfrac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\(= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\)