Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Phương pháp giải
Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {BD} \) rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} \) vì M là trung điểm của đoạn HD.
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \)
Do đó: \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD}).(\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD})\)
\(= \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\)
\(= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \)
\(\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right).\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {HD} \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC} \\
= 0
\end{array}\)
Vậy AM vuông góc với BD.
Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {BD} \) rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} \) vì M là trung điểm của đoạn HD.
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \)
Do đó: \(2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD}).(\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD})\)
\(= \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\)
\(= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \)
\(\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right).\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {HD} \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {BH} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} \left({\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} } \right)\\
= \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {AC} \\
= 0
\end{array}\)
Vậy AM vuông góc với BD.