Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm \(A(3; 4), B(4; 1), C(2; - 3), D(- 1; 6)\). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
Phương pháp giải
Muốn chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, ta chứng minh tứ giác này có hai góc đối bù nhau. Khi đó hai góc này có cô sin đối nhau.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (1; - 3),\overrightarrow {AD} = (- 4; 2),\)\(\overrightarrow {CB} = (2; 4);\overrightarrow {CD} = (- 3; 9)\)
Do đó \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}}\)\(= \dfrac{{1.( - 4) + (- 3). 2}}{{\sqrt {1 + 9} .\sqrt {16 + 4} }} = \dfrac{{ - 10}}{{\sqrt {200} }} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\(\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AD}) = \dfrac{{\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)\(= \dfrac{{2.( - 3) + 4.9}}{{\sqrt {4 + 16} .\sqrt {9 + 81} }} = \dfrac{{30}}{{\sqrt {1800} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vì \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}) = - \cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD})\) nên hai góc này bù nhau.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
Muốn chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn, ta chứng minh tứ giác này có hai góc đối bù nhau. Khi đó hai góc này có cô sin đối nhau.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (1; - 3),\overrightarrow {AD} = (- 4; 2),\)\(\overrightarrow {CB} = (2; 4);\overrightarrow {CD} = (- 3; 9)\)
Do đó \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}}\)\(= \dfrac{{1.( - 4) + (- 3). 2}}{{\sqrt {1 + 9} .\sqrt {16 + 4} }} = \dfrac{{ - 10}}{{\sqrt {200} }} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\(\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AD}) = \dfrac{{\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\)\(= \dfrac{{2.( - 3) + 4.9}}{{\sqrt {4 + 16} .\sqrt {9 + 81} }} = \dfrac{{30}}{{\sqrt {1800} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Vì \(\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}) = - \cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD})\) nên hai góc này bù nhau.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.