Google
Câu hỏi: Bất phương trình : \(mx^2+(2m-1)x+m+1<0\) có nghiệm khi
(A). \(m=1\)
(B). \(m =3\)
(C). \(m = 0\)
(D). \(m=0,25\)
(A). \(m=1\)
(B). \(m =3\)
(C). \(m = 0\)
(D). \(m=0,25\)
Phương pháp giải
Thay giá trị của \(m\) ở mỗi đáp án vào bất phương trình sau đó giải các bất phương trình để chọn đúng giá trị của \(m.\)
Lời giải chi tiết
\(+) m=1\) ta được \(x^2+ x+2< 0 \)
VT của bpt có \(\Delta = - 7 < 0\) và hệ số \(a=1>0\) nên VT>0 với mọi \(x\).
Do đó bpt \(x^2+ x+2< 0 \) vô nghiệm hay (A) sai
\(+) m = 3\) có : \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \)
VT của bpt có \(\Delta = - 23 < 0\) và hệ số \(a=3>0\) nên VT>0 với mọi x
Do đó bpt \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \) vô nghiệm hay (B) sai
\(+) m = 0\), bất phương trình trở thành \(–x+1< 0\) \( \Leftrightarrow - x < - 1 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm.
Vậy (C) đúng.
\(+) m = 0,25\) thì ta được bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) VT của bpt có có \(\Delta = 0,{5^2} - 4.0,25.1,25 = - 1 < 0\) và hệ số \(a=0,25>0\) vên VT>0 với mọi x.
Do đó bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) vô nghiệm.
Vậy (D) sai.
Cách khác:
Ta tìm m để bpt đã cho vô nghiệm.
Xét f(x) = mx2 + (2m – 1)x + m + 1.
+ Nếu m = 0, BPT trở thành \(- x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm (TM).
+ Nếu m ≠ 0 :
f(x) có Δ = (2m – 1)2 – 4. M.(m+1) = 4m2 – 4m + 1 – 4m2 – 4m = 1 – 8m.
BPT f(x) < 0 vô nghiệm
⇔ f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 8m \le 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ge \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{8}\)
Vậy với mọi m ≥ 1/8 thì BPT f(x) < 0 vô nghiệm
Suy ra với mọi m < 1/8 thì BPT f(x) < 0 có nghiệm.
Trong các đáp án trên chỉ có m = 0 thỏa mãn.
Thay giá trị của \(m\) ở mỗi đáp án vào bất phương trình sau đó giải các bất phương trình để chọn đúng giá trị của \(m.\)
Lời giải chi tiết
\(+) m=1\) ta được \(x^2+ x+2< 0 \)
VT của bpt có \(\Delta = - 7 < 0\) và hệ số \(a=1>0\) nên VT>0 với mọi \(x\).
Do đó bpt \(x^2+ x+2< 0 \) vô nghiệm hay (A) sai
\(+) m = 3\) có : \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \)
VT của bpt có \(\Delta = - 23 < 0\) và hệ số \(a=3>0\) nên VT>0 với mọi x
Do đó bpt \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \) vô nghiệm hay (B) sai
\(+) m = 0\), bất phương trình trở thành \(–x+1< 0\) \( \Leftrightarrow - x < - 1 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm.
Vậy (C) đúng.
\(+) m = 0,25\) thì ta được bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) VT của bpt có có \(\Delta = 0,{5^2} - 4.0,25.1,25 = - 1 < 0\) và hệ số \(a=0,25>0\) vên VT>0 với mọi x.
Do đó bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) vô nghiệm.
Vậy (D) sai.
Cách khác:
Ta tìm m để bpt đã cho vô nghiệm.
Xét f(x) = mx2 + (2m – 1)x + m + 1.
+ Nếu m = 0, BPT trở thành \(- x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm (TM).
+ Nếu m ≠ 0 :
f(x) có Δ = (2m – 1)2 – 4. M.(m+1) = 4m2 – 4m + 1 – 4m2 – 4m = 1 – 8m.
BPT f(x) < 0 vô nghiệm
⇔ f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 8m \le 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ge \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{8}\)
Vậy với mọi m ≥ 1/8 thì BPT f(x) < 0 vô nghiệm
Suy ra với mọi m < 1/8 thì BPT f(x) < 0 có nghiệm.
Trong các đáp án trên chỉ có m = 0 thỏa mãn.