Google
Câu hỏi: Bất phương trình \((x+1) \sqrt x ≤ 0\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?
(A). \(\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0\)
(B). \((x+1) \sqrt x<0\)
(C). \((x+1)^2\sqrt x ≤ 0\)
(D). \((x+1)^2\sqrt x < 0\)
(A). \(\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0\)
(B). \((x+1) \sqrt x<0\)
(C). \((x+1)^2\sqrt x ≤ 0\)
(D). \((x+1)^2\sqrt x < 0\)
Phương pháp giải
+) Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có chung tập nghiệm.
Lời giải chi tiết
Giải bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\).
ĐK: \(x \ge 0\).
Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\)\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy bpt có tập nghiệm \(S = \left\{ 0 \right\}\).
: \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le 0\)
ĐK: \(x{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)
Khi đó \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \ge 0\) nên bpt \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le 0\)\(\Leftrightarrow \sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_1} = \left\{ { - 1; 0} \right\}\) nên hai bpt không tương đương.
Loại A.
: \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x < 0\)
ĐK: \(x \ge 0\)
Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x < 0\) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_2} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.
Loại B.
: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \le 0\)
ĐK: \(x \ge 0\)
Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \le 0\)\(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy bpt có tập nghiệm \({S_3} = \left\{ 0 \right\} = S\).
Do đó hai bpt tương đương.
: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x < 0\)
ĐK: \(x \ge 0\).
Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \ge 0\) nên bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x < 0\) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_4} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.
Loại D.
+) Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có chung tập nghiệm.
Lời giải chi tiết
Giải bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\).
ĐK: \(x \ge 0\).
Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \le 0\)\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy bpt có tập nghiệm \(S = \left\{ 0 \right\}\).
: \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le 0\)
ĐK: \(x{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)
Khi đó \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \ge 0\) nên bpt \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le 0\)\(\Leftrightarrow \sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_1} = \left\{ { - 1; 0} \right\}\) nên hai bpt không tương đương.
Loại A.
: \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x < 0\)
ĐK: \(x \ge 0\)
Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x < 0\) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_2} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.
Loại B.
: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \le 0\)
ĐK: \(x \ge 0\)
Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \ge 0,\forall x \ge 0\)
Do đó bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \le 0\)\(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x = 0\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy bpt có tập nghiệm \({S_3} = \left\{ 0 \right\} = S\).
Do đó hai bpt tương đương.
: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x < 0\)
ĐK: \(x \ge 0\).
Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x \ge 0\) nên bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x < 0\) vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_4} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.
Loại D.