Bài 11 trang 107 SGK Đại số 10

Câu hỏi:

Câu a​

Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2= (a-b)(a+b),\) hãy xét dấu \(f(x)= x^4– x^2+6x – 9\) và \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f(x) = x4​ – x2​ + 6x – 9 = x4​ – (x2​ – 6x +9) = x4​– (x-3)2​
= (x2​ –x + 3).(x2​ + x - 3)
+ Tam thức x2​ – x + 3 có Δ = -11 < 0, a = 1 > 0 nên x2​ – x + 3 > 0 với ∀ x ∈ R.
+ Tam thức x2​ + x – 3 có hai nghiệm \({x_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2},{x_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\)
Ta có bảng xét dấu:

Suy ra:
+) \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\) hoặc \(x > \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\)
+) \(f\left( x \right) < 0\) khi \(\dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2} < x < \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\)
\(g(x) = x^2– 2x -  {4 \over {{x^2} - 2x}}\)
\(={{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}} = {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\)
Tam thức x2​ - 2x + 2 có Δ = -4 < 0, hệ số a = 1 > 0 nên x2​ - 2x + 2 > 0 với ∀ x ∈ R
Tam thức x2​ - 2x - 2 có hai nghiệm là x1​ = 1 - √3; x2​ = 1 + √3.
Tam thức x2​ - 2x có hai nghiệm là x1​ = 0; x2​ = 2
Lập bảng xét dấu:

Vậy \(g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left({1 - \sqrt 3 }; 0 \right)\)\(\cup \left( {2; 1 + \sqrt 3 } \right)\) và \(g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left({ - \infty; 1 - \sqrt 3 } \right)\)\(\cup \left( {0; 2} \right) \cup \left({1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right).\)

Câu b​

Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: \(x(x^3– x + 6) > 9.\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & x({x^3} - x + 6) > 9 \cr&\Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \cr & \Leftrightarrow f(x)>0 (1) \cr} \)
Theo câu a,
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\\
x > \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array} \right.\)
Mà \(x\in Z\) nên tập hợp nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}.\)