Bài 13 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Giải các phương trình sau (với ẩn z)

Câu a​

\(iz + 2 - i = 0\);
Phương pháp giải:
Chuyển vế, thực hiện các phép tính với số phức.
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = {{ - 2 + i} \over i} = {{\left( { - 2 + i} \right)i} \over { - 1}}\) \(= \dfrac{{ - 2i - 1}}{{ - 1}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)

Câu b​

\(\left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\);
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z =  - 1\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow z = {{ - 1} \over {1 + 3i}} \) \(\displaystyle = {{ - 1(1-  3i)} \over {\left({1 + 3i} \right)\left({1 - 3i} \right)}} \) \(\displaystyle = {{ - 1 + 3i} \over {1+9}}\) \(\displaystyle =  - {1 \over {10}} + {3 \over {10}}i\)

Câu c​

\(\left( {2 - i} \right)\overline z  - 4 = 0\);
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle \left( {2 - i} \right)\overline z  - 4 = 0 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {2 - i} \right)\overline z = 4 \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \overline z = {4 \over {2 - i}} \) \(\displaystyle = {{4\left( {2 + i} \right)} \over {2^2+1^2}} \) \(\displaystyle = {{8+4i} \over {5}} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow z = {8 \over 5} - {4 \over 5}i\)

Câu d​

\(\left( {iz - 1} \right)\left({z + 3i} \right)\left({\overline z  - 2 + 3i} \right) = 0\);
Lời giải chi tiết:
\(\left( {iz - 1} \right)\left({z + 3i} \right)\left({\overline z  - 2 + 3i} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  iz - 1 = 0 \hfill \cr  z + 3i = 0 \hfill \cr  \overline z  - 2 + 3i = 0 \hfill \cr}  \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
iz = 1\\
z = - 3i\\
\overline z = 2 - 3i
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = {1 \over i} =  - i \hfill \cr  z =  - 3i \hfill \cr  z = 2 + 3i \hfill \cr}  \right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ { - i, - 3i, 2 + 3i} \right\}\)

Câu e​

\({z^2} + 4 = 0\);
Lời giải chi tiết:
\({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2}=0 \) \(\Leftrightarrow \left( {z - 2i} \right)\left({z + 2i} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow z = 2i\text{ hoặc } z =  - 2i\).
Vậy \(S = \left\{ {2i, - 2i} \right\}\)