Google
Câu hỏi: Cho \(z = - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.\)
Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).
Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
\(\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)
Kết hợp các công thức cộng, trừ nhân số phức.
Lời giải chi tiết
Ta có \(z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \) \(\Rightarrow \overline z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left({{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} = 1\)
Nên \({1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\({z^2} = {\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} \) \(= {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 2}i - {3 \over 4} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\(\begin{array}{l}
{\left({\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left({\overline z } \right)^2}\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){\left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left({\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{3}{4}{i^2}} \right)\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left({ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\
= {\left({ - \frac{1}{2}} \right)^2} - {\left({\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}{i^2}\\
= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
\end{array}\)
\(1 + z + {z^2}\) \(= 1 + \left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left({ - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\) \(= 0\)
Chú ý:
Có thể tính \(\frac{1}{z}\) và \(\left( {\overline z } \right)^3\) như sau:
$\begin{array}{l}
+ \frac{1}{z} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} = \frac{{ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}\\
= \frac{{ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
+ {\overline z ^3} = {\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^3}\\
= - \frac{1}{8} - \frac{{3.1}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{{3.1}}{2}.\frac{3}{4}.{i^2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{8}{i^3}\\
= - \frac{1}{8} - 3\frac{{\sqrt 3 }}{8}i + \frac{9}{8} + 3\frac{{\sqrt 3 }}{8}i = \frac{8}{8} = 1
\end{array}$
Sử dụng các công thức:
\(\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)
Kết hợp các công thức cộng, trừ nhân số phức.
Lời giải chi tiết
Ta có \(z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \) \(\Rightarrow \overline z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left({{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} = 1\)
Nên \({1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\({z^2} = {\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} \) \(= {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 2}i - {3 \over 4} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)
\(\begin{array}{l}
{\left({\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left({\overline z } \right)^2}\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){\left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left({\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{3}{4}{i^2}} \right)\\
= \left({ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left({ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\
= {\left({ - \frac{1}{2}} \right)^2} - {\left({\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\
= \frac{1}{4} - \frac{3}{4}{i^2}\\
= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
\end{array}\)
\(1 + z + {z^2}\) \(= 1 + \left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left({ - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)\) \(= 0\)
Chú ý:
Có thể tính \(\frac{1}{z}\) và \(\left( {\overline z } \right)^3\) như sau:
$\begin{array}{l}
+ \frac{1}{z} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}} = \frac{{ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}}\\
= \frac{{ - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}}{{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\\
+ {\overline z ^3} = {\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^3}\\
= - \frac{1}{8} - \frac{{3.1}}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{{3.1}}{2}.\frac{3}{4}.{i^2} - \frac{{3\sqrt 3 }}{8}{i^3}\\
= - \frac{1}{8} - 3\frac{{\sqrt 3 }}{8}i + \frac{9}{8} + 3\frac{{\sqrt 3 }}{8}i = \frac{8}{8} = 1
\end{array}$