Google
Câu hỏi: Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?
\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\); \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\); \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)
\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\); \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\); \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất:
+) Số phức z là số thực khi và chỉ khi \(\overline z=z \)
+) "Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(\overline z=-z\)
Lời giải chi tiết
* Ta có:
\(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \\= \overline {{z^2}} + \overline {{{\left({\overline z } \right)}^2}} \\= {\left({\overline z } \right)^2} + {\left({\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left({\overline z } \right)^2} + {z^2}\)
\(\Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) là số thực.
Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)
Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left({a - bi} \right)^2} \) \(= {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \) \(= 2{a^2} - 2{b^2}\)
\(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực
* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)} \) \( = \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \(= \frac{{\overline z - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \(= \frac{{\overline z - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left({\overline {\overline z } } \right)}^3}}} \) \(= - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}\)
\(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.
* \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)} \) \(= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} \) \(= - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z. Z}} \)
\(\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.
Cách khác:
*
$\begin{array}{l}
\frac{{z - \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}} = \frac{{a + bi + a - bi}}{{{{\left( {a + bi} \right)}^3} + {{\left( {a - bi} \right)}^3}}}\\
= \frac{{2bi}}{{\left( {a + bi + a - bi} \right).\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2} - \left( {a + bi} \right).\left( {a - bi} \right) + {{\left( {a - bi} \right)}^2}} \right]}}\\
= \frac{{2bi}}{{2a\left[ {{a^2} + 2abi - {b^2} - {a^2} - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2}} \right]}}\\
= \frac{{2bi}}{{2{a^3} - 6a{b^2}}}
\end{array}$
Vậy $\frac{{z - \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}$ là một số ảo.
* $\frac{{z - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 - z\overline z }} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} - {{\left( {a - bi} \right)}^2}}}{{1 + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)}} = \frac{{4abi}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}$
Vậy $\frac{{z - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 - z\overline z }}$ là một số ảo.
Sử dụng tính chất:
+) Số phức z là số thực khi và chỉ khi \(\overline z=z \)
+) "Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(\overline z=-z\)
Lời giải chi tiết
* Ta có:
\(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \\= \overline {{z^2}} + \overline {{{\left({\overline z } \right)}^2}} \\= {\left({\overline z } \right)^2} + {\left({\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left({\overline z } \right)^2} + {z^2}\)
\(\Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\) là số thực.
Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)
Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left({a - bi} \right)^2} \) \(= {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \) \(= 2{a^2} - 2{b^2}\)
\(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực
* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)} \) \( = \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \(= \frac{{\overline z - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}} + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \(= \frac{{\overline z - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left({\overline {\overline z } } \right)}^3}}} \) \(= - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}\)
\(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.
* \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)} \) \(= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} \) \(= - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z. Z}} \)
\(\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.
Cách khác:
*
$\begin{array}{l}
\frac{{z - \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}} = \frac{{a + bi + a - bi}}{{{{\left( {a + bi} \right)}^3} + {{\left( {a - bi} \right)}^3}}}\\
= \frac{{2bi}}{{\left( {a + bi + a - bi} \right).\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2} - \left( {a + bi} \right).\left( {a - bi} \right) + {{\left( {a - bi} \right)}^2}} \right]}}\\
= \frac{{2bi}}{{2a\left[ {{a^2} + 2abi - {b^2} - {a^2} - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2}} \right]}}\\
= \frac{{2bi}}{{2{a^3} - 6a{b^2}}}
\end{array}$
Vậy $\frac{{z - \overline z }}{{{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}$ là một số ảo.
* $\frac{{z - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 - z\overline z }} = \frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} - {{\left( {a - bi} \right)}^2}}}{{1 + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)}} = \frac{{4abi}}{{1 + {a^2} + {b^2}}}$
Vậy $\frac{{z - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 - z\overline z }}$ là một số ảo.