Google
Câu hỏi: Cho $z\in \mathbb{C}$, thỏa mãn $\left| \overline{z}+2i \right|\le \left| z-4i \right|$ và $(z-3-3i)\left( \overline{z}-3+3i \right)=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| z-2 \right|$ là
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{13}$.
C. $\sqrt{13}+1$.
D. $\sqrt{10}+1$.
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{13}$.
C. $\sqrt{13}+1$.
D. $\sqrt{10}+1$.
Đặt $z=x+yi\ \ \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó $\left| \overline{z}+2i \right|\le \left| z-4i \right|\Leftrightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y\le 3$
Lại có $(z-3-3i)\left( \overline{z}-3+3i \right)=1$ $\Leftrightarrow (x+yi-3-3i)\left( x-yi-3+3i \right)=1$
$\Leftrightarrow (x-3+\left( y-3 \right)i)(x-3-\left( y-3 \right)i)=1$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1$
Từ đó suy ra tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là nửa dưới của đường tròn tâm $H(3;3)$ bán kính $R=1$ đối với đường thẳng $y=3$.
Gọi $N(2;0)$ khi đó ta có $|z-2|=MN$ từ hình vẽ ta thấy $MN$ lớn nhất khi điểm $M(4;3)$.
khi đó $MN=\sqrt{13}$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| z-2 \right|$ là $\sqrt{13}$.
Khi đó $\left| \overline{z}+2i \right|\le \left| z-4i \right|\Leftrightarrow {{\left( y-2 \right)}^{2}}\le {{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y\le 3$
Lại có $(z-3-3i)\left( \overline{z}-3+3i \right)=1$ $\Leftrightarrow (x+yi-3-3i)\left( x-yi-3+3i \right)=1$
$\Leftrightarrow (x-3+\left( y-3 \right)i)(x-3-\left( y-3 \right)i)=1$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=1$
Từ đó suy ra tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là nửa dưới của đường tròn tâm $H(3;3)$ bán kính $R=1$ đối với đường thẳng $y=3$.
khi đó $MN=\sqrt{13}$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| z-2 \right|$ là $\sqrt{13}$.
Đáp án B.