Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm và . Xét điểm thay đổi thuộc trục $Oz$. Gọi là trọng tâm tam giác $SOB$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AG$. Biết rẳng khi $S$ thay đổi thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào dưới đây?
B. $\left( \dfrac{3}{2}; 2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{5}{2}; 3 \right)$.
D. $\left( 2; \dfrac{5}{2} \right)$.
Gọi $M\left( \dfrac{3}{2}; 3; 0 \right)$ là trung điểm của đoạn $OB.$
Ta có ${{V}_{\left( M, \dfrac{1}{3} \right)}}\left( S \right)=G$, vì $S$ thuộc trục $Oz$ nên tập hợp điểm $G$ thuộc đường thẳng $\Delta $ là ảnh của trục $Oz$ qua phép vị tự tâm $M$, tỉ số $k=\dfrac{1}{3}$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $K\left( 1; 2; 0 \right)={{V}_{\left( M; \dfrac{1}{3} \right)}}\left( O \right)$ và song song với trục $Oz$.
Khi điểm $S$ thay đổi thuộc trục $Oz$ thì đường thẳng $AG$ thuộc mặt phẳng $\left( A, \Delta \right):2x-3y+4=0$.
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AG$ nên $OH\bot HA$, khi đó tập hợp điểm $H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $OA$ và mặt phẳng $\left( A, \Delta \right).$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 2; 0 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$, có $h=d\left( I,\left( A,Oz \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
Khi đó đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\dfrac{10}{\sqrt{13}}\in \left( \dfrac{5}{2}; 3 \right)$.
A. $\left( 1; \dfrac{3}{2} \right)$.B. $\left( \dfrac{3}{2}; 2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{5}{2}; 3 \right)$.
D. $\left( 2; \dfrac{5}{2} \right)$.
Ta có ${{V}_{\left( M, \dfrac{1}{3} \right)}}\left( S \right)=G$, vì $S$ thuộc trục $Oz$ nên tập hợp điểm $G$ thuộc đường thẳng $\Delta $ là ảnh của trục $Oz$ qua phép vị tự tâm $M$, tỉ số $k=\dfrac{1}{3}$.
Đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $K\left( 1; 2; 0 \right)={{V}_{\left( M; \dfrac{1}{3} \right)}}\left( O \right)$ và song song với trục $Oz$.
Khi điểm $S$ thay đổi thuộc trục $Oz$ thì đường thẳng $AG$ thuộc mặt phẳng $\left( A, \Delta \right):2x-3y+4=0$.
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AG$ nên $OH\bot HA$, khi đó tập hợp điểm $H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $OA$ và mặt phẳng $\left( A, \Delta \right).$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 2; 0 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$, có $h=d\left( I,\left( A,Oz \right) \right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}.$
Khi đó đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\dfrac{10}{\sqrt{13}}\in \left( \dfrac{5}{2}; 3 \right)$.
Đáp án C.
