Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0 ; 0 ; \sqrt{3})$ và điểm $B$ thay đồi thuộc mặt phẳng $(O x y)$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $C$ là điềm trên tia $Oz$ thòa mãn $d[C, A B]=d[C, O B]=k$. Thể tích của khối tròn xoay tạo bời tập hợp tất cả các điểm $M$ mà $C M \leq k$ thuộc khoảng nào dưới dây?
A. $(0,2 ; 0,7)$.
B. $(1,2 ; 1,7)$.
C. $(1,7 ; 2,2)$.
D. $(0,7 ; 1,2)$.
Tam giác $OAB$ vuông tại $O\Rightarrow \dfrac{1}{2}OB.OA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OB=1\Rightarrow B$ nằm trên đường tròn tâm $O\left( 0;0 \right)$, bán kính $r=1.$ Ta có $\tan \widehat{OBA}=\dfrac{OA}{OB}=\sqrt{3}.\Rightarrow \widehat{OBA}={{60}^{0}}.$
Theo bài ra $d[C,AB]=d[C,OB]=k\Rightarrow C\in tia\ Oz$ và nằm trên tia phân giác trong của $\widehat{OBA}\Rightarrow C$ là chân đường phân giác trong của góc $B\Rightarrow \widehat{OBC}=\dfrac{\widehat{OBA}}{2}={{30}^{0}}\Rightarrow OC=k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Tập hợp các điểm $M$ là khối cầu tâm $C,$ bán kính $R=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow $ Thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{4\pi }{9\sqrt{3}}\approx 0.806.$
A. $(0,2 ; 0,7)$.
B. $(1,2 ; 1,7)$.
C. $(1,7 ; 2,2)$.
D. $(0,7 ; 1,2)$.
Theo bài ra $d[C,AB]=d[C,OB]=k\Rightarrow C\in tia\ Oz$ và nằm trên tia phân giác trong của $\widehat{OBA}\Rightarrow C$ là chân đường phân giác trong của góc $B\Rightarrow \widehat{OBC}=\dfrac{\widehat{OBA}}{2}={{30}^{0}}\Rightarrow OC=k=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Tập hợp các điểm $M$ là khối cầu tâm $C,$ bán kính $R=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow $ Thể tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\dfrac{4\pi }{9\sqrt{3}}\approx 0.806.$
Đáp án D.