Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 4; 0; 0 \right), B\left( 8; 0; 6 \right)$. Xét điểm $M$ thay đổi sao cho khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $OM$ bằng $2$ và diện tích tam giác $OAM$ không lớn hơn $6$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5; 7 \right)$.
B. $\left( \dfrac{13}{3}; 5 \right)$.
C. $\left( \dfrac{7}{2}; 4 \right)$.
D. $\left( 4; \dfrac{13}{3} \right)$.
A. $\left( 5; 7 \right)$.
B. $\left( \dfrac{13}{3}; 5 \right)$.
C. $\left( \dfrac{7}{2}; 4 \right)$.
D. $\left( 4; \dfrac{13}{3} \right)$.
Ta có: $\sin \widehat{AOM}=\dfrac{AH}{OA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AOM}=30{}^\circ $ nên điểm $M$ thuộc mặt nón có đỉnh $O$, trục là tia $OA$ và ${{S}_{OAM}}=\dfrac{1}{2}OA.OM.\operatorname{s}\text{in3}0{}^\circ \le 6\Rightarrow OM\le 6$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $M$ lên tia $OA$ $\Rightarrow O{A}'=3\sqrt{3}$ và ${A}'M\le 3$. Từ đó suy ra tập hợp điểm $M$ mặt nón có đỉnh $O$, đáy là đường tròn tâm ${A}'$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right):x-3\sqrt{3}=0$ $\Rightarrow K\left( 3\sqrt{3}; 0; 6 \right)$ $\Rightarrow {A}'K=6$ và $BK=8-3\sqrt{3}$
Vậy: $B{{M}_{\min }}=\sqrt{B{{K}^{2}}+M{{K}^{2}}}\approx 4,1\in $ $\left( 4; \dfrac{13}{3} \right)$.
Gọi ${A}'$ là hình chiếu của $M$ lên tia $OA$ $\Rightarrow O{A}'=3\sqrt{3}$ và ${A}'M\le 3$. Từ đó suy ra tập hợp điểm $M$ mặt nón có đỉnh $O$, đáy là đường tròn tâm ${A}'$.
Vậy: $B{{M}_{\min }}=\sqrt{B{{K}^{2}}+M{{K}^{2}}}\approx 4,1\in $ $\left( 4; \dfrac{13}{3} \right)$.
Đáp án D.