Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 3; 1; 0 \right), B\left( -1; 1; 4 \right), C\left( 5; 1; -2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right): x+2y-2z+7=0$. Giả sử $d$ là đường thẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi qua điểm $B$. Gọi $M$ là hình chiếu của $C$ lên $d$. Giá trị lớn nhất của $AM$ bằng
A. $4\sqrt{2}+3$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{2}+4$.
D. $4\sqrt{2}+1$.
+ Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow I\left( 2; 1; 1 \right)$. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Phương trình tham số đường thẳng $AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=1+2t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.$.
+ Điểm $H\in AH\Rightarrow H\left( 3+t; 1+2t; -2t \right)$ mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 3+t \right)+2\left( 1+2t \right)-2\left( -2t \right)+7=0$
$\Leftrightarrow 9t+12=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{5}{3}; -\dfrac{5}{3}; \dfrac{8}{3} \right)$.
+ Tương tự ta tìm được toạ độ điểm $K\left( 1; -1; 3 \right)$. Ta có, $AH=4, IK=3$ và $HK=1$.
+ Hai điểm $B, C$ cố định mà tam giác $BMC$ vuông tại $M$ nên $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ bán kính $IM=\dfrac{BC}{2}=3\sqrt{2}$, mà $M\in \left( P \right)$ nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
+ Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $K$ bán kính $KM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{K}^{2}}}=3$
+ Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $AM=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{16+H{{M}^{2}}}$.
mà $HM\le HK+KM=1+3=4$ $\Rightarrow AM\le \sqrt{16+{{4}^{2}}}=4\sqrt{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi $K$ nằm giữa $HM$.
Vậy giá trị lớn nhất của $AM$ bằng $4\sqrt{2}$.
A. $4\sqrt{2}+3$.
B. $4\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{2}+4$.
D. $4\sqrt{2}+1$.
& x=3+t \\
& y=1+2t \\
& z=-2t \\
\end{aligned} \right.$.
+ Điểm $H\in AH\Rightarrow H\left( 3+t; 1+2t; -2t \right)$ mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 3+t \right)+2\left( 1+2t \right)-2\left( -2t \right)+7=0$
$\Leftrightarrow 9t+12=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{5}{3}; -\dfrac{5}{3}; \dfrac{8}{3} \right)$.
+ Tương tự ta tìm được toạ độ điểm $K\left( 1; -1; 3 \right)$. Ta có, $AH=4, IK=3$ và $HK=1$.
+ Hai điểm $B, C$ cố định mà tam giác $BMC$ vuông tại $M$ nên $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ bán kính $IM=\dfrac{BC}{2}=3\sqrt{2}$, mà $M\in \left( P \right)$ nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
+ Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $K$ bán kính $KM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{K}^{2}}}=3$
+ Xét tam giác $AHM$ vuông tại $H$ có $AM=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{16+H{{M}^{2}}}$.
mà $HM\le HK+KM=1+3=4$ $\Rightarrow AM\le \sqrt{16+{{4}^{2}}}=4\sqrt{2}$.
Dấu “=” xảy ra khi $K$ nằm giữa $HM$.
Vậy giá trị lớn nhất của $AM$ bằng $4\sqrt{2}$.
Đáp án B.