Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 0;0;10 \right)$ và $B\left( 3;4;\dfrac{19}{2} \right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng 20. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 5;10 \right)$
B. $\left( 3;5 \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2};3 \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{3}{2} \right)$.
A. $\left( 5;10 \right)$
B. $\left( 3;5 \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2};3 \right)$.
D. $\left( 0;\dfrac{3}{2} \right)$.
Ta có: ${{S}_{OAM}}=\dfrac{1}{2}OA.d\left( M; OA \right)=20\Rightarrow d\left( M; OA \right)=4.$
Suy ra: $M$ di động trên mặt trụ, bán kính bằng $4,$ trục là $OA.$
Xét điểm $D$ như hình vẽ, $\left\{ \begin{aligned}
& HA.HO=H{{D}^{2}}=16 \\
& HA+HO=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& HA=2 \\
& HO=8 \\
\end{aligned} \right..$
+TH1: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{AMO}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên đoạn $EF$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BF=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
+TH2: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{MAO}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên tia $CD$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BC=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
+TH3: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{MOA}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên tia $GH$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BG=\dfrac{\sqrt{365}}{2}$.
So sánh ba trường hợp trên ta thấy $B{{M}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118033989.$
Suy ra: $M$ di động trên mặt trụ, bán kính bằng $4,$ trục là $OA.$
& HA.HO=H{{D}^{2}}=16 \\
& HA+HO=10 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& HA=2 \\
& HO=8 \\
\end{aligned} \right..$
+TH1: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{AMO}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên đoạn $EF$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BF=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
+TH2: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{MAO}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên tia $CD$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BC=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
+TH3: Nếu tam giác $OAM$ là tam giác có góc $\widehat{MOA}\ge {{90}^{0}}$ thì điểm $M$ chạy trên tia $GH$, khi đó $BM$ có giá trị nhỏ nhất bằng $BG=\dfrac{\sqrt{365}}{2}$.
Đáp án D.