Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2 ;-3 ;-5), I(2 ; 0 ;-1)$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y-2 z+5=0$. Điểm $M(a ; b ; c)$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $I M=5$ và độ dài đoạn $AM$ lớn nhất. Khi đó giá trị của biển thức $T=a+b+2 c$ bằng
A. 11.
B. 6.
C. $-1$.
D. $-\dfrac{1}{3}$.
$IH=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2+2+5 \right|}{3}=\dfrac{11}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống mặt phẳng $(P)\Rightarrow H\left( \dfrac{-4}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{13}{9} \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt phẳng $(P)\Rightarrow K\left( \dfrac{-26}{9};\dfrac{-5}{9};\dfrac{-1}{9} \right)$.
Do Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ và $I M=5$ nên $M$ nằm trên đường tròn tâm $H$, bán kính $HM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \dfrac{11}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{26}}{3}$.
$\overrightarrow{HK}=\left( \dfrac{-22}{9};\dfrac{-16}{9};-\dfrac{14}{9} \right)\Rightarrow HK=\dfrac{2\sqrt{26}}{3}\Rightarrow K\in \left( H,HK \right)$.
Do đó Để $AM$ lớn nhất thì $KM$ lớn nhất khí và chỉ khi $M$ là điểm đối xứng với $K$ qua $H$.
Khi đó tọa độ điểm $M(2;3;3)\Rightarrow a=2,b=3,c=3\Rightarrow a+b+2c=11$.
A. 11.
B. 6.
C. $-1$.
D. $-\dfrac{1}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống mặt phẳng $(P)\Rightarrow H\left( \dfrac{-4}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{13}{9} \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống mặt phẳng $(P)\Rightarrow K\left( \dfrac{-26}{9};\dfrac{-5}{9};\dfrac{-1}{9} \right)$.
Do Điểm $M$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(P)$ và $I M=5$ nên $M$ nằm trên đường tròn tâm $H$, bán kính $HM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \dfrac{11}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{26}}{3}$.
$\overrightarrow{HK}=\left( \dfrac{-22}{9};\dfrac{-16}{9};-\dfrac{14}{9} \right)\Rightarrow HK=\dfrac{2\sqrt{26}}{3}\Rightarrow K\in \left( H,HK \right)$.
Do đó Để $AM$ lớn nhất thì $KM$ lớn nhất khí và chỉ khi $M$ là điểm đối xứng với $K$ qua $H$.
Khi đó tọa độ điểm $M(2;3;3)\Rightarrow a=2,b=3,c=3\Rightarrow a+b+2c=11$.
Đáp án A.