Một thùng rượu có bán kính các đáy là $30cm,$ thiết diện vuông góc...

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho trục $Ox$ chứa trục của thùng rượu, trục $Oy$ là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đáy của thùng rượu.
Khi đó mặt phẳng $Oxy$ cắt mặt xung quanh thùng rượu là đường parabol có đỉnh thuộc $Oy$ nên phương trình parabol có dạng: $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+c.$
$\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+c$ cắt trục tung tại điểm có tung độ 40 và đi qua điểm $A\left( 50;30 \right)$ nên ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& c=40 \\
& 30=a{{.50}^{2}}+c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{250} \\
& c=40 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):y=-\dfrac{1}{250}{{x}^{2}}+40.$
Thể tích của thùng rượu là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi: $\left( P \right):y=-\dfrac{1}{250}{{x}^{2}}+40;y=0;x=50;x=-50$ quanh trục $Ox.$
Vậy thể tích thùng rượu là:
$V=\pi {{\int\limits_{-50}^{50}{\left( -\dfrac{1}{250}{{x}^{2}}+40 \right)}}^{2}}dx=2\pi {{\int\limits_{0}^{50}{\left( -\dfrac{1}{250}{{x}^{2}}+40 \right)}}^{2}}dx=\dfrac{406000}{3}\pi $
$\approx 425162,2058c{{m}^{3}}\approx 425,2d{{m}^{3}}=425,2$ lít.