Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang ( mặt trong của thùng)...

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ
Theo đề ta có phương trình của Elip là $\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{4}{25}}=1.$
Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của dầu với elip.
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích của Elip ta có ${{S}_{1}}=\pi ab=\pi .\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}=\dfrac{\pi }{5}$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và dường thẳng $MN$
Theo đề bài chiều cao của dàu hiện có trong thùng ( tính từ đáy thùng lên mặt dầu) là $0,6m$ nên ta có phương trình của đường thẳng $MN$ là $y=\dfrac{1}{5}.$
Mặt khác từ phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{4}{25}}=1$, ta có $y=\dfrac{4}{5}\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{x}^{2}}}.$
Do đường thẳng $y=\dfrac{1}{5}$ cắt Elip tại hai đỉnh $M,N$ có hoành độ lần lượt là $-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ và $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ nên
${{S}_{2}}=\int\limits_{-\dfrac{\sqrt{3}}{4}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\left( \dfrac{4}{5}\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{5} \right)dx}=\dfrac{4}{5}\int\limits_{-\dfrac{\sqrt{3}}{4}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{x}^{2}}}dx}-\dfrac{\sqrt{3}}{10}.$
Tính $I=\int\limits_{-\dfrac{\sqrt{3}}{4}}^{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}-{{x}^{2}}}dx}.$
Đặt $x=\dfrac{1}{2}\sin t\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}\text{c}ostdt.$
Đổi cận: Khi $x=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t=-\dfrac{\pi }{3};$ khi $x=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ thì $t=\dfrac{\pi }{3}.$
$I=\int\limits_{-\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\text{co}{{\text{s}}^{2}}tdt}=\dfrac{1}{8}\int\limits_{-\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}{\left( 1+c\text{os}2t \right)dt}=\dfrac{1}{8}\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right).$
Vậy ${{S}_{2}}=\dfrac{4}{5}.\dfrac{1}{8}\left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)-\dfrac{\sqrt{3}}{10}=\dfrac{\pi }{15}-\dfrac{\sqrt{3}}{20}.$
Thể tích của dầu trong thùng là $V=\left( \dfrac{\pi }{5}-\dfrac{\pi }{15}+\dfrac{\sqrt{3}}{20} \right).3=1,52.$
Vậy $V=1,52{{m}^{3}}.$