Google
Câu hỏi: Người ta muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác vuông cân $ABC$ tại $A$ có $BC=2m$. Người ta muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M$, $N$ thuộc cạnh $BC$ ; $P$ và $Q$ tương ứng thuộc cạnh $AC$ và $AB$ ) để tạo thành hình trụ có ciều cao bằng $MQ$. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là
A. $\dfrac{4}{9\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{2}{27\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
C. $\dfrac{2}{9\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
D. $\dfrac{4}{27\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
B. $\dfrac{2}{27\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
C. $\dfrac{2}{9\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
D. $\dfrac{4}{27\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
Đặt $MN=x$, $QM=h$, $x\in \left( 0 ;2 \right)$.
Chu vi đáy hình trụ là $x=2\pi r\Rightarrow r=\dfrac{x}{2\pi }$.
Ta có $QM$ // $AF$ (do cùng vuông góc với $BF$ )
$\Rightarrow \dfrac{QM}{AF}=\dfrac{BM}{BF}$ (hệ quả định lý Talet) $\Rightarrow \dfrac{h}{1}=\dfrac{1-\dfrac{x}{2}}{1}\Rightarrow h=1-\dfrac{x}{2}$.
Thể tích hình trụ là: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }-\dfrac{{{x}^{3}}}{8\pi }$.
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }-\dfrac{{{x}^{3}}}{8\pi }$ $\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2x}{4\pi }-\dfrac{3{{x}^{2}}}{8\pi }=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Vậy Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là $\dfrac{4}{27\pi }\left( {{m}^{3}} \right)$.
Chu vi đáy hình trụ là $x=2\pi r\Rightarrow r=\dfrac{x}{2\pi }$.
Ta có $QM$ // $AF$ (do cùng vuông góc với $BF$ )
$\Rightarrow \dfrac{QM}{AF}=\dfrac{BM}{BF}$ (hệ quả định lý Talet) $\Rightarrow \dfrac{h}{1}=\dfrac{1-\dfrac{x}{2}}{1}\Rightarrow h=1-\dfrac{x}{2}$.
Thể tích hình trụ là: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( 1-\dfrac{x}{2} \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }-\dfrac{{{x}^{3}}}{8\pi }$.
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{4\pi }-\dfrac{{{x}^{3}}}{8\pi }$ $\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2x}{4\pi }-\dfrac{3{{x}^{2}}}{8\pi }=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Đáp án D.
