Google
Câu hỏi: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
A. $\dfrac{91125}{2\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{13500\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{108000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{91125}{4\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN.
Đặt $MN=x\left( 0<x<90 \right).$
Ta có: $\dfrac{MQ}{AI}=\dfrac{BM}{BI}\Leftrightarrow MQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 90-x \right)$
Gọi R là bán kính của trụ $\Rightarrow R=\dfrac{x}{2\pi }$
Thể tích của khối trụ là: ${{V}_{T}}=\pi {{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 90-x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -{{x}^{3}}+90{{\text{x}}^{2}} \right)$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -{{x}^{3}}+90{{\text{x}}^{2}} \right)$ với $0<x<90{}^\circ .$
$f'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -3{{x}^{2}}+180\text{x} \right),f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=60 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó suy ra $\underset{x\in \left( 0;90 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 60 \right)=\dfrac{13500\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{13500\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{108000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{91125}{4\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN.
Đặt $MN=x\left( 0<x<90 \right).$
Ta có: $\dfrac{MQ}{AI}=\dfrac{BM}{BI}\Leftrightarrow MQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 90-x \right)$
Gọi R là bán kính của trụ $\Rightarrow R=\dfrac{x}{2\pi }$
Thể tích của khối trụ là: ${{V}_{T}}=\pi {{\left( \dfrac{x}{2\pi } \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 90-x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -{{x}^{3}}+90{{\text{x}}^{2}} \right)$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -{{x}^{3}}+90{{\text{x}}^{2}} \right)$ với $0<x<90{}^\circ .$
$f'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi }\left( -3{{x}^{2}}+180\text{x} \right),f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=60 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó suy ra $\underset{x\in \left( 0;90 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 60 \right)=\dfrac{13500\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
Đáp án B.
