Google
Câu hỏi: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn
đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}$ như hình vẽ bên. Biết chi phí phần tô đậm
là 200 000 đồng/m2 và phần còn lại là 100 000 đồng/m2 . Hỏi
số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây,
biết ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=8m {{B}_{1}}{{B}_{2}}=6m$ và tứ giác $MNPQ$ là hình chữ
nhật có $MQ=3m$ ?
A. 7 322 000 đồng.
B. 7 213 000 đồng.
C. 5 526 000 đồng.
D. 5 782 000 đồng.
Hướng Dẫn. Vì elip có đọp dài trục lớn $2a=8\Leftrightarrow a=4$, độ
dài trục bé $2b=6\Leftrightarrow b=3$ nên elip có diện tích
là $S=\pi ab=12\pi .$ Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ trùng
$Ox$, ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ trùng $Oy$ khi đó elip có phương trình chính
tắc $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ Vì $MQ=3$ nên $NP=3$ nên điểm
N có tọa độ là $N\left( {{x}_{0}};\dfrac{3}{2} \right).$ N thuộc elip
nên ${{x}_{0}}=\sqrt{16\left( 1-\dfrac{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}{9} \right)}=2\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}=9\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16} \right)$. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
$y=3\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16}},y=0,x=0,x=2\sqrt{3}$. Do tính đối xứng của hình elip nên diện tích được tô đậm là $S=4{{S}_{1}}=4\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}{3\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16}}dx}=8\pi +6\sqrt{3}$. Diện tích phần còn lại của elip là $12\pi -\left( 8\pi +6\sqrt{3} \right)=4\pi -6\sqrt{3}$. Do đó số tiền cần làm biển quảng cáo là $T=(8\pi +6\sqrt{3}).200000+(4\pi -6\sqrt{3}).100000$ $\approx 7\text{ 322 000}$ đồng.
đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}$ như hình vẽ bên. Biết chi phí phần tô đậm
là 200 000 đồng/m2 và phần còn lại là 100 000 đồng/m2 . Hỏi
số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây,
biết ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=8m {{B}_{1}}{{B}_{2}}=6m$ và tứ giác $MNPQ$ là hình chữ
nhật có $MQ=3m$ ?
A. 7 322 000 đồng.
B. 7 213 000 đồng.
C. 5 526 000 đồng.
D. 5 782 000 đồng.
Hướng Dẫn. Vì elip có đọp dài trục lớn $2a=8\Leftrightarrow a=4$, độ
dài trục bé $2b=6\Leftrightarrow b=3$ nên elip có diện tích
là $S=\pi ab=12\pi .$ Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ trùng
$Ox$, ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ trùng $Oy$ khi đó elip có phương trình chính
tắc $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1.$ Vì $MQ=3$ nên $NP=3$ nên điểm
N có tọa độ là $N\left( {{x}_{0}};\dfrac{3}{2} \right).$ N thuộc elip
nên ${{x}_{0}}=\sqrt{16\left( 1-\dfrac{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}{9} \right)}=2\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1\Leftrightarrow {{y}^{2}}=9\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16} \right)$. Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
$y=3\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16}},y=0,x=0,x=2\sqrt{3}$. Do tính đối xứng của hình elip nên diện tích được tô đậm là $S=4{{S}_{1}}=4\int\limits_{0}^{2\sqrt{3}}{3\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{16}}dx}=8\pi +6\sqrt{3}$. Diện tích phần còn lại của elip là $12\pi -\left( 8\pi +6\sqrt{3} \right)=4\pi -6\sqrt{3}$. Do đó số tiền cần làm biển quảng cáo là $T=(8\pi +6\sqrt{3}).200000+(4\pi -6\sqrt{3}).100000$ $\approx 7\text{ 322 000}$ đồng.
Đáp án A.