Một biển quảng cáo có dạng hình Elip có bốn đỉnh...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Một biển quảng cáo có dạng hình Elip có bốn đỉnh

A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}

như hình vẽ bên. Người ta chia Elip bởi Parabol có đỉnh

B_{1}

, trục đối xứng

B_{1} B_{2}

và đi qua các điểm M, N . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng

/ m^{2}

và trang trí đèn LED phần còn lại với giá 500.000 đồng

/ m^{2}

. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng

A_{1} A_{2} = 4 m, B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m

.

A. 2.341.000 đồng
B. 2.057.000 đồng
C. 2.760.000 đồng
D. 1.664.000 đồng

Chọn hệ tọa độ Oxy, với O là trung điểm

A_{1} A_{2} \Rightarrow A_{1} (- 2; 0), A_{2} (2; 0)

Phương trình (E) là

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1

mà

M (- 1; y_{M}), N (1; y_{N})

thuộc

(E) \Rightarrow M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2}), N (1; \frac{\sqrt{3}}{2})

Gọi phương trình parabol (P) là

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy (P) có đỉnh

B_{1} (0; - 1)

và đi qua

M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow (P) : y = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) x^{2} - 1

Khi đó, diện tích phần tô đậm là

S_{1} = \int_{- 1}^{1} | \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) x^{2} + 1 | d x \approx 2, 67 m^{2}

Diện tích của elip là

S_{2} = 2 π \Rightarrow

Diện tích phần còn lại là

S_{3} = S_{2} - S_{1} \approx 3, 61 m^{2}

Vậy kinh phí sử dụng để trang trí là

200. S_{1} + 500. S_{3} \approx 2.339 .000

đồng .

Đáp án A.