Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

Câu hỏi: 1. Định nghĩa
Hàm số mũ là hàm số có dạng y= ax​, hàm số lôgarit là hàm số có dạng y = loga​x (với cơ số a dương khác 1).
2. Tính chất của hàm số mũ y= ax​ $\left( a > 0, a\ne 1\right)$.
- Tập xác định: $\mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a$.
- Chiều biến thiên
+) Nếu $a> 1$ thì hàm số luôn đồng biến
+) Nếu $0< a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành ( y= ax ​> 0, ∀x), và luôn cắt trục tung tại điểm $\left( 0;1\right)$ và đi qua điểm $\left(1;a\right)$.
3. Tính chất của hàm số lôgarit y = loga​x $\left(a> 0, a\ne1\right)$.
- Tập xác định: $\left(0; +∞\right)$.
- Đạo hàm $∀x ∈ \left(0; +∞\right),y'= \dfrac{1}{x\ln a}$.
- Chiều biến thiên:
+) Nếu $a> 1$ thì hàm số luôn đồng biến
+) Nếu $0< a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm $\left(1;0\right)$ và đi qua điểm $\left(a;1\right)$.


4. Chú ý
- Nếu $a > 1$ thì $\ln a > 0$, suy ra $\left(a^x\right)'>0 \forall x$ và (loga​x)’​ > 0, ∀x > 0;
do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.
Tương tự, nếu $0 < a< 1$ thì $\ln a < 0$, (ax​)’​ < 0 và (loga​x)’​ < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.
- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành
$ \left(\ln |x|\right)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0$ và (loga​|x|)’​ = $\dfrac{1}{x \ln a}$, ∀x $\ne$ 0.