Google
Câu hỏi: Tìm đạo hàm của hàm số: $y = \ln \left(x + \sqrt {\left(1 + {x^2}\right)} \right)$
Phương pháp giải
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\ln u} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}$
Lời giải chi tiết
$\eqalign{
& y' = {\rm{[}}\ln \left(x + \sqrt {1 + {x^2}} \right){\rm{]'}} \cr
& {\rm{ = }}{{\left(x + \sqrt {1 + {x^2}} \right)'} \over {x + \sqrt {1 + {x^2}} }} \cr} $
$ = \dfrac{{1 + \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{{1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}$ $ = \dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\ln u} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}$
Lời giải chi tiết
$\eqalign{
& y' = {\rm{[}}\ln \left(x + \sqrt {1 + {x^2}} \right){\rm{]'}} \cr
& {\rm{ = }}{{\left(x + \sqrt {1 + {x^2}} \right)'} \over {x + \sqrt {1 + {x^2}} }} \cr} $
$ = \dfrac{{1 + \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{{1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}$ $ = \dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} $ $= \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$