Google
Câu hỏi: Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ ( với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ ) là các nghiệm của phương trình ${{\log }_{5}}\dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x}+4{{x}^{2}}=6x-1$. Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $a\le 4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ ?
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.$
${{\log }_{5}}\dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x}+4{{x}^{2}}=6x-1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(4{{x}^{2}}-4x+1)+(4{{x}^{2}}-4x+1)={{\log }_{5}}(2x)+(2x) (1)$
Xét hàm số đặc trưng: $f(t)={{\log }_{5}}t+t \ (t>0)$
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0 \forall t>0$. Hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Phương trình $\left( 1 \right)$ $\Rightarrow f(4{{x}^{2}}-4x+1)=f(2x)\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x+1=2x\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-6x+1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $a\le 4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Leftrightarrow a\le \dfrac{15-3\sqrt{5}}{4}$
Lại có $a$ nguyên dương nên $a\in \left\{ 1;2 \right\}$
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.$
${{\log }_{5}}\dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x}+4{{x}^{2}}=6x-1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}(4{{x}^{2}}-4x+1)+(4{{x}^{2}}-4x+1)={{\log }_{5}}(2x)+(2x) (1)$
Xét hàm số đặc trưng: $f(t)={{\log }_{5}}t+t \ (t>0)$
Có $f'(t)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0 \forall t>0$. Hàm số $y=f(t)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Phương trình $\left( 1 \right)$ $\Rightarrow f(4{{x}^{2}}-4x+1)=f(2x)\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x+1=2x\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-6x+1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $a\le 4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Leftrightarrow a\le \dfrac{15-3\sqrt{5}}{4}$
Lại có $a$ nguyên dương nên $a\in \left\{ 1;2 \right\}$
Đáp án B.