Google
Câu hỏi: Cho ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x$ và ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right)$ với $a, b$ là hai số nguyên dương. Tính $a+b$.
A. $a+b=14$.
B. $a+b=11$.
C. $a+b=16$.
D. $a+b=13$.
A. $a+b=14$.
B. $a+b=11$.
C. $a+b=16$.
D. $a+b=13$.
${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)={{\log }_{7}}\left( 2x \right)+2x$
$\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)=f\left( 2x \right)$ với $f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t$ xét trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 7}+1>0, \forall t>0$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-4x+1=2x \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-4x+1=2x \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-6x+1=0 \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{4}$.
Mà ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right)$ với $a, b$ là hai số nguyên dương, suy ra: ${{x}_{1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$, ${{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}$.
Do đó: ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( 9+\sqrt{5} \right)$. Suy ra: $\left( a ; b \right)=\left( 9 ; 5 \right)$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)={{\log }_{7}}\left( 2x \right)+2x$
$\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)=f\left( 2x \right)$ với $f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t$ xét trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 7}+1>0, \forall t>0$. Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-4x+1=2x \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-4x+1=2x \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-6x+1=0 \\
& 2x>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{4}$.
Mà ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right)$ với $a, b$ là hai số nguyên dương, suy ra: ${{x}_{1}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$, ${{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}$.
Do đó: ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( 9+\sqrt{5} \right)$. Suy ra: $\left( a ; b \right)=\left( 9 ; 5 \right)$.
Đáp án A.
