Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$.
A. $187$.
B. $36$.
C. $198$.
D. $34$.
A. $187$.
B. $36$.
C. $198$.
D. $34$.
Bất phương trình ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+14x+14>{{x}^{2}}+6x+5+m \\
& {{x}^{2}}+6x+5+m>0 \\
\end{aligned} \right., \forall x\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=6{{x}^{2}}+8x+9>m \\
& g\left( x \right)=-{{x}^{2}}-6x-5<m \\
\end{aligned} \right., \forall x\in \left[ 1;3 \right] \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=23>m \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-12<m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -12<m<23. \\
\end{aligned}$
Vậy tổng các giá trị của tham số $m$ là $\sum\limits_{m=-11}^{22}{m}=187$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7{{x}^{2}}+14x+14>{{x}^{2}}+6x+5+m \\
& {{x}^{2}}+6x+5+m>0 \\
\end{aligned} \right., \forall x\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=6{{x}^{2}}+8x+9>m \\
& g\left( x \right)=-{{x}^{2}}-6x-5<m \\
\end{aligned} \right., \forall x\in \left[ 1;3 \right] \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=23>m \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-12<m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -12<m<23. \\
\end{aligned}$
Vậy tổng các giá trị của tham số $m$ là $\sum\limits_{m=-11}^{22}{m}=187$.
Đáp án A.