Google
Câu hỏi: Phương trình $\log _3 \dfrac{2 x-1}{(x-1)^2}=3 x^2-8 x+5$ có hai nghiệm là $a$ và $\dfrac{a}{b}$ (với $a, b \in \mathbb{N} *$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $b$ là
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}2 x-1>0 \\ x-1 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>\dfrac{1}{2} \\ x \neq 1\end{array}\right.\right.$
Ta có: $\log _3 \dfrac{2 x-1}{(x-1)^2}=3 x^2-8 x+5$.
$\Leftrightarrow \log _3 \dfrac{2 x-1}{(x-1)^2}-1=3 x^2-8 x+4 \Leftrightarrow \log _3 \dfrac{2 x-1}{3(x-1)^2}=3(x-1)^2-(2 x-1)$.
$\Leftrightarrow \log _3(2 x-1)+(2 x-1)=\log _3\left(3(x-1)^2\right)+3(x-1)^2(1)$.
Xét hàm số: $f(t)=\log _3(t)+t$ với $t>0$.
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \cdot \ln 3}+1>0 \forall t>0$
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0 ;+\infty)$.
Phương trình $(1) \Leftrightarrow f(2 x-1)=f\left(3(x-1)^2\right)$.
$\Leftrightarrow 2 x-1=3(x-1)^2 \Leftrightarrow 3 x^2-8 x+4=0$ hay $\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$.
Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và $\dfrac{2}{3}$ suy ra $b=3$.
Ta có: $\log _3 \dfrac{2 x-1}{(x-1)^2}=3 x^2-8 x+5$.
$\Leftrightarrow \log _3 \dfrac{2 x-1}{(x-1)^2}-1=3 x^2-8 x+4 \Leftrightarrow \log _3 \dfrac{2 x-1}{3(x-1)^2}=3(x-1)^2-(2 x-1)$.
$\Leftrightarrow \log _3(2 x-1)+(2 x-1)=\log _3\left(3(x-1)^2\right)+3(x-1)^2(1)$.
Xét hàm số: $f(t)=\log _3(t)+t$ với $t>0$.
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \cdot \ln 3}+1>0 \forall t>0$
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0 ;+\infty)$.
Phương trình $(1) \Leftrightarrow f(2 x-1)=f\left(3(x-1)^2\right)$.
$\Leftrightarrow 2 x-1=3(x-1)^2 \Leftrightarrow 3 x^2-8 x+4=0$ hay $\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=\dfrac{2}{3}\end{array}\right.$.
Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và $\dfrac{2}{3}$ suy ra $b=3$.
Đáp án D.
