Google
Câu hỏi: Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\cdot {{4}^{x}}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{8x+4}{2x-y+1}$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $6$.
B. 7.
C. $5$ .
D. 3.
A. $6$.
B. 7.
C. $5$ .
D. 3.
Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\cdot {{4}^{x}}$ $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$ $={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow t\ge 0 \forall x, y\in \mathbb{R}$.
Khi đó, ta có bất phương trình: ${{2}^{t}}\le t+1$ $\left( t\ge 0 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1=0\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2}\approx 0,53$.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có ${{2}^{t}}\le t+1$ $\Leftrightarrow 0\le t\le 1$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1 (1)$.
Xét các điểm $M\left( x; y \right)$ thỏa mãn $ (1)$ thì $M$ thuộc hình tròn tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=1$.
Khi đó ta có $2x-y+1>0$.
Mặt khác $P=\dfrac{8x+4}{2x-y+1}\Leftrightarrow P\left( 2x-y+1 \right)=8x+4$ $\Leftrightarrow \left( 2P-8 \right)x-Py-4+P=0 \left( 2 \right)$.
Ta cần tìm giá trị của $P$ để hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1 \\
& \left( 2P-8 \right)x-Py-4+P=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng có phương trình $\left( 2 \right)$.
$\Rightarrow \text{d}\left( I,\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left( 2P-8 \right)\cdot 1-P\cdot 0-4+P \right|}{\sqrt{{{\left( 2P-8 \right)}^{2}}+{{P}^{2}}}}\le 1$ $\Leftrightarrow \left| 3P-12 \right|\le \sqrt{5{{P}^{2}}-32P+64}$.
$\Leftrightarrow 9{{P}^{2}}-72P+144\le 5{{P}^{2}}-32P+64$ $\Leftrightarrow 4{{P}^{2}}-40P+80\le 0$ $\Leftrightarrow 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$.
Suy ra $\max P=5+\sqrt{5}$.
Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1$ $={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow t\ge 0 \forall x, y\in \mathbb{R}$.
Khi đó, ta có bất phương trình: ${{2}^{t}}\le t+1$ $\left( t\ge 0 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
Có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1=0\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\dfrac{1}{\ln 2}\approx 0,53$.
Ta có bảng biến thiên
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1 (1)$.
Xét các điểm $M\left( x; y \right)$ thỏa mãn $ (1)$ thì $M$ thuộc hình tròn tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=1$.
Khi đó ta có $2x-y+1>0$.
Mặt khác $P=\dfrac{8x+4}{2x-y+1}\Leftrightarrow P\left( 2x-y+1 \right)=8x+4$ $\Leftrightarrow \left( 2P-8 \right)x-Py-4+P=0 \left( 2 \right)$.
Ta cần tìm giá trị của $P$ để hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1 \\
& \left( 2P-8 \right)x-Py-4+P=0 \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng có phương trình $\left( 2 \right)$.
$\Rightarrow \text{d}\left( I,\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left( 2P-8 \right)\cdot 1-P\cdot 0-4+P \right|}{\sqrt{{{\left( 2P-8 \right)}^{2}}+{{P}^{2}}}}\le 1$ $\Leftrightarrow \left| 3P-12 \right|\le \sqrt{5{{P}^{2}}-32P+64}$.
$\Leftrightarrow 9{{P}^{2}}-72P+144\le 5{{P}^{2}}-32P+64$ $\Leftrightarrow 4{{P}^{2}}-40P+80\le 0$ $\Leftrightarrow 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$.
Suy ra $\max P=5+\sqrt{5}$.
Đáp án B.