Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a.$ Gọi $M;N$...

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$ ta có $SO\bot \left( ABCD \right)$
Gọi $I$ là trung điểm của OA
$\Rightarrow MI//SO\Rightarrow MI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( MN,\left( ABCD \right) \right)=\angle MNI={{60}^{0}}$
Xét $\Delta NCI$ có $CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2};CI=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}a;\angle NCI={{45}^{0}}$
Suy ra $NI=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{I}^{2}}-2CN.CI.\cos C}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{18{{a}^{2}}}{16}-2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{3\sqrt{2}}{4}.a.\cos {{45}^{0}}}=a\dfrac{\sqrt{10}}{4}.$
$MI=NI.\tan {{60}^{0}}=a\dfrac{\sqrt{30}}{4}\Rightarrow SO=a\dfrac{\sqrt{30}}{2}.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& BC//\left( SAD \right) \\
& DM\subset \left( SAD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( BC,DM \right)=d\left( BC,\left( SAD \right) \right)=2d\left( O,\left( SAD \right) \right)=2h.$
Xét tứ diện $\left( SAOD \right)$ có $SO;OA;OD$ đôi một vuông góc
Nên ta có: $\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{D}^{2}}}=\dfrac{2}{15{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{a}^{2}}}=\dfrac{62}{15{{a}^{2}}}\Rightarrow h=a\sqrt{\dfrac{15}{62}}$
Do đó $d\left( BC,DM \right)=2h=2a\sqrt{\dfrac{15}{62}}=a\sqrt{\dfrac{30}{31}}$