Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm của đáy là $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết đường thẳng $MN$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc $\alpha $ sao cho $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{50}}{6}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của M trên $\left( ABCD \right)$. Khi đó $H$ là trung điểm $AO$.
Suy ra góc giữa $MN$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{MNH}$.
Ta có $HN=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{H}^{2}}-2CN.CH.\cos {{45}^{0}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$.
Suy ra $MH=HN.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Do đó $SO=2MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO . {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}. a\dfrac{\sqrt{2}}{2}. {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{50}}{6}$.
Suy ra góc giữa $MN$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{MNH}$.
Ta có $HN=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{H}^{2}}-2CN.CH.\cos {{45}^{0}}}$ $=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$.
Suy ra $MH=HN.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{10}}{4}.\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$. Do đó $SO=2MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO . {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}. a\dfrac{\sqrt{2}}{2}. {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đáp án A.
