Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, thể tích bằng $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$. Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng
A. $90{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $60{}^\circ $.
Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.SO\Leftrightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $\alpha =\widehat{\left( \left( SBC \right), \left( ABCD \right) \right)}$, $M$ là trung điểm $BC$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& MO\bot BC, MO\subset \left( ABCD \right) \\
& SM\bot BC, SM\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( SM, MO \right)}=\widehat{SMO}$
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SO}{OM}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60{}^\circ $.
A. $90{}^\circ $.
B. $45{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $.
D. $60{}^\circ $.
$\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.SO\Leftrightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $\alpha =\widehat{\left( \left( SBC \right), \left( ABCD \right) \right)}$, $M$ là trung điểm $BC$.
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& MO\bot BC, MO\subset \left( ABCD \right) \\
& SM\bot BC, SM\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \alpha =\widehat{\left( SM, MO \right)}=\widehat{SMO}$
$\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SO}{OM}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =60{}^\circ $.
Đáp án D.
