Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Khoảng các từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng
A. $2a\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$, $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên ta có:
+) $SO\bot (ABCD)$
+) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow OI\bot BC$ (1)
+) $SB=SC\Rightarrow \Delta SBC$ cân tại S $\Rightarrow SI\bot BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy là $\widehat{SIO}={{60}^{0}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$, ta có: $OH=OI.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot BC (BC\bot (SOI)) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC))=OH$.
Ta lại có: $\dfrac{d(A,(SBC))}{d(O,(SBC))}=\dfrac{AC}{OC}=2\Rightarrow d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))=2OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $2a\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên ta có:
+) $SO\bot (ABCD)$
+) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow OI\bot BC$ (1)
+) $SB=SC\Rightarrow \Delta SBC$ cân tại S $\Rightarrow SI\bot BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy là $\widehat{SIO}={{60}^{0}}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$, ta có: $OH=OI.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot BC (BC\bot (SOI)) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC))=OH$.
Ta lại có: $\dfrac{d(A,(SBC))}{d(O,(SBC))}=\dfrac{AC}{OC}=2\Rightarrow d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))=2OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án C.