Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABD.$ Cạnh bên $SD$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc bằng ${{60}^{\circ }}.$ Khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( SBC \right)$ tính theo $a$ bằng
A. $\dfrac{3a\sqrt{285}}{19}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{285}}{18}$.
D. $\dfrac{5a\sqrt{285}}{18}$.
Đặc điểm hình: Góc giữa $SD$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SDE}={{60}^{\circ }}.$ $DE=\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{6}$ ; $SE=DE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{6}a$
Xác định khoảng cách $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}EH$
Tính $EH$ : $\dfrac{1}{E{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{E{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2\sqrt{15}a}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{57}{20{{a}^{2}}}$
$EH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{57}}$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}EH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{285}}{19}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{285}}{18}$.
D. $\dfrac{5a\sqrt{285}}{18}$.
Đặc điểm hình: Góc giữa $SD$ tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{SDE}={{60}^{\circ }}.$ $DE=\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{5}a}{6}$ ; $SE=DE.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{6}a$
Xác định khoảng cách $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}EH$
Tính $EH$ : $\dfrac{1}{E{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{E{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{E{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2a}{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2\sqrt{15}a}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{57}{20{{a}^{2}}}$
$EH=\dfrac{2\sqrt{5}a}{\sqrt{57}}$. Vậy $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( E,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3}{2}EH=\dfrac{a\sqrt{285}}{19}$.
Đáp án B.