Trang đã được tối ưu để hiển thị nhanh cho thiết bị di động. Để xem nội dung đầy đủ hơn, vui lòng click vào đây.

Câu 81 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B cố định với (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với ∆ và ở trong (P) lấy điểm M khác A. Đặt AM = m. Trên nửa đường thẳng By vuông góc với ∆ và trong (Q) lấy điểm N sao cho .
a) Chứng minh các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
b) Với giá trị nào của m thì MN có độ dài bé nhất? Tính giá trị đó.
c) Chứng minh rằng chân mỗi đường cao của tứ diện đó xuất phát từ A và B nằm trên đường tròn cố định khi M thay đổi.
Lời giải chi tiết

A) Vì
nên . Do đó MAB, MAN là các tam giác vuông tại A.
Tương tự như trên, các tam giác MBN, ABN vuông tại B.
b) Vì

Từ đó MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi bé nhất.
Mặt khác .
Vậy MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:
.
c) Vì nên khi kẻ AA1​ vuông góc với BM tại A1​ thì , tức A­1​ là chân đường cao của tứ diện ABMN kẻ từ đỉnh A.
Như vậy A1​ thuộc (P) và , từ đó A1​ thuộc đường tròn đường kính AB trong (P). Đường tròn này cố định.
Tương tự như trên, chân đường cao B1­ ​kẻ từ đỉnh B của tứ diện ABMN cũng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng (Q).