Câu 70 trang 182 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: a. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là -1 ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}}\)

b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)

c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại ?
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:
a.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^2} + x - 1} \over {3x + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2 + {1 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \over {{3 \over x} + 1}} = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 3} \over {{x^2} - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x}}} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - {x^2} + 3} \over {5{x^2} - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {1 \over x} + {3 \over {{x^3}}}} \over {{5 \over x} - 1}} = - 1 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({x - 1} \right) = - \infty \cr} \)
Chọn C

b.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - 1} \over {{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {{x^2} + x + 1}} = {1 \over 3} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2x + 5} \over {x + 10}} = {1 \over 8} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - 1} \over {{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x + 1} \over {x - 2}} = - 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)
Chọn D

c.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} + 1}} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over {\sqrt {x + 1} }} = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {x \over {{{\left({x + 1} \right)}^2}}} = - \infty \cr} \)
Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \cos x\) (chọn 2 dãy \({x_n} = 2n\pi \) và \(x{'_n} = {\pi \over 2} + 2n\pi \);\(\mathop {\lim }\limits\cos x{'_n} = 0\);\(\mathop {\lim }\limits\cos x{_n} = 1\))
Chọn B.