Câu 5.51 trang 187 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Gọi (P) và (P’) lần lượt là đồ thị của hai hàm số

Câu a​

Vẽ các đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ.
Giải chi tiết:

Câu b​

Viết phương trình của đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (P) để tiếp điểm A đồng thời cũng là tiếp tuyến của (P’) tại tiếp điểm B (đường thẳng (d) nếu có, được gọi là tiếp tuyến chung của  (P) và (P’).
Giải chi tiết:
Gọi đường thẳng \(y = mx + p \left( d \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + 1\) tại điểm \(A\left( {a; f\left( a \right)} \right),\) đồng thời là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3\) tại điểm \(B\left( {b; g\left( b \right)} \right).\) Nếu thế thì ta phải có
\(\left( I \right) \left\{ \matrix{ f'\left(a \right) = g'\left(b \right) = m \left(1 \right) \hfill \cr f\left(a \right) = ma + p \left(2 \right) \hfill \cr g\left(b \right) = mb + p \left(3 \right) \hfill \cr}  \right.\)
((I) chứng tỏ hệ số góc của tiếp tuyến tại A (đối với (P) và hệ số góc của tiếp tuyến B (đối với (P’)) bằng nhau và bằng m; (2) chứng tỏ đường thẳng (d) đi  qua đoạn A; (3) chứng tỏ đường thẳng (d) đi qua B)
Khử m và p ở hệ phương trình (1), ta được

Thế vào (1) ta được
- Với \(a =  - 1; b = 1\) thì \(m = 0\) và \(p = 2,\) suy ra tiếp tuyến chung phải tìm là \(y = 2\left( {{d_1}} \right)\)
- Với \(a = 1; b =  - 1\) thì \(m =  - 4\) và \(p = 2,\) suy ra tiếp tuyến chung phải tìm là \(y =  - 4x + 2\left( {{d_2}} \right)\)