Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \(\left( C \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có phương trình lần lượt là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2,x + y + 2 = 0\)
a) Chứng minh \(\Delta \) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\), biết rằng d song song với đường thẳng \(\Delta \)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2,x + y + 2 = 0\)
a) Chứng minh \(\Delta \) là một tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\), biết rằng d song song với đường thẳng \(\Delta \)
Phương pháp giải
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\) khi \(d\left( {I,d} \right) = R\)
Lời giải chi tiết
a) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\) có \(I\left( {1; - 1} \right),R = \sqrt 2 \)
Tính \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 = R\)
Nên d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\)
b)
+ d song song với đường thẳng \(\Delta \) \(\Rightarrow \) \(d:x + y + c = 0\left( {c \ne 2} \right)\)
+ d là tiếp tuyến của \(C\left( {I,R} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c = - 2\)
\( \Rightarrow d:x + y - 2 = 0\)
+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\) khi \(d\left( {I,d} \right) = R\)
Lời giải chi tiết
a) \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\) có \(I\left( {1; - 1} \right),R = \sqrt 2 \)
Tính \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 = R\)
Nên d là tiếp tuyến của đường tròn \(C\left( {I,R} \right)\)
b)
+ d song song với đường thẳng \(\Delta \) \(\Rightarrow \) \(d:x + y + c = 0\left( {c \ne 2} \right)\)
+ d là tiếp tuyến của \(C\left( {I,R} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c = - 2\)
\( \Rightarrow d:x + y - 2 = 0\)