Google
Câu hỏi: Cho hàm số
\(y = f\left( x \right) = {1 \over {x\sqrt 2 }}\) và \(y = g\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
\(y = f\left( x \right) = {1 \over {x\sqrt 2 }}\) và \(y = g\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Lời giải chi tiết
Hoành độ giao điểm hai đồ thị của haio hàm số đã cho là
\({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
Tung độ giao điểm tương ứng là \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Ta có
\(\bullet \) \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 .{x^2}}},\) suy ra \(f'\left( 1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại giao điểm là
\(y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }} hay y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left({x - 2} \right)\)
\(\bullet \) \(g'\left( x \right) = x\sqrt 2, suy ra g'\left(1 \right) = \sqrt 2 \)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại giao điểm là
\(y = \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }} hay y = \sqrt 2 x - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Mặt khác \(f'\left( 1 \right). G'\left(1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\)
Nên hai tiếp tuyến của đò thị hàm số đã cho vuông góc với nhau, suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({90^0}\).
Hoành độ giao điểm hai đồ thị của haio hàm số đã cho là
\({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
Tung độ giao điểm tương ứng là \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Ta có
\(\bullet \) \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 .{x^2}}},\) suy ra \(f'\left( 1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại giao điểm là
\(y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }} hay y = - {1 \over {\sqrt 2 }}\left({x - 2} \right)\)
\(\bullet \) \(g'\left( x \right) = x\sqrt 2, suy ra g'\left(1 \right) = \sqrt 2 \)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại giao điểm là
\(y = \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }} hay y = \sqrt 2 x - {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Mặt khác \(f'\left( 1 \right). G'\left(1 \right) = - {1 \over {\sqrt 2 }}.\sqrt 2 = - 1\)
Nên hai tiếp tuyến của đò thị hàm số đã cho vuông góc với nhau, suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({90^0}\).