Google
Câu hỏi: Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} khi x \ge 0 \hfill \cr - {x^3} + bx + c khi x > 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải chi tiết:
Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left(0 \right)\) hay
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = f\left(0 \right)\)
ta có
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left({ - {x^3} + bx + c} \right) = c \cr& f\left(0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.
Giải chi tiết:
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó (suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} \left(1 \right)\)
Ta có
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left(x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left({ - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)
Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}}\)
Suy ra \(b = 0\)
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f'\left( 0 \right) = 0\)
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} khi x \ge 0 \hfill \cr - {x^3} + bx + c khi x > 0 \hfill \cr} \right.\)
Câu a
Tìm điều kiện của b và c để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\)Giải chi tiết:
Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left(0 \right)\) hay
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = f\left(0 \right)\)
ta có
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left({ - {x^3} + bx + c} \right) = c \cr& f\left(0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.
Câu b
Xác định b và c để \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và tính \(f'\left( 0 \right)\)Giải chi tiết:
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó (suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} \left(1 \right)\)
Ta có
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left(x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0 \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left({ - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)
Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left(x \right) - f\left(0 \right)} \over {x - 0}}\)
Suy ra \(b = 0\)
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f'\left( 0 \right) = 0\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!