Câu hỏi: Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:
Trong đó l là số thực cho trước.
Trong đó l là số thực cho trước.
Lời giải chi tiết
Ta xét các trường hợp sau:
1) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho , còn
2) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.
Do nên P khác O. Điều kiện tương đương với điều kiện . Nhưng vì nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:
Khi thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số
Khi thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. Vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.
Ta xét các trường hợp sau:
1)
2)
Do
Khi
Khi
Khi
Khi