Google
Câu hỏi: Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:
\(\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr} \right.\)
Trong đó l là số thực cho trước.
\(\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr} \right.\)
Trong đó l là số thực cho trước.
Lời giải chi tiết
Ta xét các trường hợp sau:
1) \(l = 0.\) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \(\left| z \right| = 1\), còn \({\rm{w}} = - z\)
2) \(l \ne 0.\) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.
Do \(l \ne 0\) nên P khác O. Điều kiện \(z + {\rm{w}} = li\) tương đương với điều kiện \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} \). Nhưng vì \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:
Khi \(0 \ne \left| l \right| < 2\) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \(\pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}} + {l \over 2}i\)
Khi \(l = 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \(l = - 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. Vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \(\left| l \right| > 2\) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.
Ta xét các trường hợp sau:
1) \(l = 0.\) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \(\left| z \right| = 1\), còn \({\rm{w}} = - z\)
2) \(l \ne 0.\) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.
Do \(l \ne 0\) nên P khác O. Điều kiện \(z + {\rm{w}} = li\) tương đương với điều kiện \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OP} \). Nhưng vì \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:
Khi \(0 \ne \left| l \right| < 2\) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \(\pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}} + {l \over 2}i\)
Khi \(l = 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \(l = - 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. Vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.
Khi \(\left| l \right| > 2\) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.