Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $\left( N \right)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng $60{}^\circ $ ta thu được thiết diện là một tam giác đều cạnh $4a$. Diện tích xung quanh của $\left( N \right)$ bằng
A. $8\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
C. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
D. $4\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}$.
Theo đề bào ta có độ dài đường sinh của hình nón là $l=SA=4a$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow $ $OI\bot AB$, mà $SO\bot AB$ nên góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt đáy hình nón là góc $\left( SO,OI \right)$ và bằng $\widehat{SIO}$.
Theo đề bài $\widehat{SIO}=60{}^\circ $, mà tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $4a$ nên $SI=\dfrac{4a\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$.
Ta có $\cos \widehat{SIO}=\dfrac{IO}{SI}\Rightarrow IO=SI\cos 60{}^\circ =2a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}=a\sqrt{3}$.
Mà $IB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{4a}{2}=2a$ nên bán kính đáy hình nón là $R=OB=\sqrt{I{{O}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}$.
Vậy diện tích xung quanh hình nón $\left( N \right)$ bằng $S=\pi Rl=\pi a\sqrt{7}.4a=4\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}$.
A. $8\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
C. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
D. $4\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow $ $OI\bot AB$, mà $SO\bot AB$ nên góc giữa mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và mặt đáy hình nón là góc $\left( SO,OI \right)$ và bằng $\widehat{SIO}$.
Theo đề bài $\widehat{SIO}=60{}^\circ $, mà tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $4a$ nên $SI=\dfrac{4a\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$.
Ta có $\cos \widehat{SIO}=\dfrac{IO}{SI}\Rightarrow IO=SI\cos 60{}^\circ =2a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}=a\sqrt{3}$.
Mà $IB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{4a}{2}=2a$ nên bán kính đáy hình nón là $R=OB=\sqrt{I{{O}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}$.
Vậy diện tích xung quanh hình nón $\left( N \right)$ bằng $S=\pi Rl=\pi a\sqrt{7}.4a=4\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}$.
Đáp án D.