Google
Câu hỏi: Cắt khối nón ${(N)}$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh ${S}$ và tạo với trục của ${(N)}$ một góc bằng ${30^\circ}$, ta được thiết diện là tam giác ${SAB}$ vuông và có diện tích bằng ${4a^2}$. Thể tích của nón bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $4\pi {{a}^{3}}$.
Gọi ${H}$ là trung điểm ${AB}$, ${h}$ là chiều cao của hình nón.
Khi đó, góc giữa trục ${SO}$ và ${(SAB)}$ bằng góc ${\widehat{OSH}=30^{\circ}}$. Khi đó ta có
${SH=\dfrac{SO}{\cos \widehat{OSH}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}.}$
Theo giả thiết ta có tam giác ${SAB}$ vuông cân tại ${S}$, do đó ${AB=2SH = \dfrac{4h}{\sqrt{3}}}$.
Diện tích tam giác ${SAB}$ bằng ${4a^2}$, suy ra ${\dfrac{1}{2}\cdot SH \cdot AB = 4a^2 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{4h}{\sqrt{3}} = 4a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}.}$
$\Rightarrow AB=2h=2a\sqrt{3}\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB=a\sqrt{3}.$
$OH=SO.\tan 30{}^\circ =a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a$
$r=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a$
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $4\pi {{a}^{3}}$.
Khi đó, góc giữa trục ${SO}$ và ${(SAB)}$ bằng góc ${\widehat{OSH}=30^{\circ}}$. Khi đó ta có
${SH=\dfrac{SO}{\cos \widehat{OSH}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}.}$
Theo giả thiết ta có tam giác ${SAB}$ vuông cân tại ${S}$, do đó ${AB=2SH = \dfrac{4h}{\sqrt{3}}}$.
Diện tích tam giác ${SAB}$ bằng ${4a^2}$, suy ra ${\dfrac{1}{2}\cdot SH \cdot AB = 4a^2 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{4h}{\sqrt{3}} = 4a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}.}$
$\Rightarrow AB=2h=2a\sqrt{3}\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB=a\sqrt{3}.$
$OH=SO.\tan 30{}^\circ =a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{3}=a$
$r=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a$
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$
Đáp án A.