Google
Câu hỏi: Cắt hình nón ${(N)}$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh ${S}$ và tạo với trục của ${(N)}$ một góc bằng ${30^\circ}$, ta được thiết diện là tam giác ${SAB}$ vuông và có diện tích bằng ${4a^2}$. Chiều cao của hình nón bằng
A. ${a\sqrt{3}}$.
B. ${a\sqrt{2}}$.
C. ${2a\sqrt{2}}$.
D. ${2a\sqrt{3}}$.
A. ${a\sqrt{3}}$.
B. ${a\sqrt{2}}$.
C. ${2a\sqrt{2}}$.
D. ${2a\sqrt{3}}$.
Gọi ${H}$ là trung điểm ${AB}$, ${h}$ là chiều cao của hình nón.
Khi đó, góc giữa trục ${SO}$ và ${(SAB)}$ bằng góc ${\widehat{OSH}=30^{\circ}}$. Khi đó ta có
${SH=\dfrac{SO}{\cos \widehat{OSH}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}.}$
Theo giả thiết ta có tam giác ${SAB}$ vuông cân tại ${S}$, do đó ${AB=2SH = \dfrac{4h}{\sqrt{3}}}$.
Diện tích tam giác ${SAB}$ bằng ${4a^2}$, suy ra ${\dfrac{1}{2}\cdot SH \cdot AB = 4a^2 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{4h}{\sqrt{3}} = 4a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}.}$
Khi đó, góc giữa trục ${SO}$ và ${(SAB)}$ bằng góc ${\widehat{OSH}=30^{\circ}}$. Khi đó ta có
${SH=\dfrac{SO}{\cos \widehat{OSH}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}.}$
Theo giả thiết ta có tam giác ${SAB}$ vuông cân tại ${S}$, do đó ${AB=2SH = \dfrac{4h}{\sqrt{3}}}$.
Diện tích tam giác ${SAB}$ bằng ${4a^2}$, suy ra ${\dfrac{1}{2}\cdot SH \cdot AB = 4a^2 \Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2h}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{4h}{\sqrt{3}} = 4a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}.}$
Đáp án A.
