Google
Câu hỏi: Cắt hình nón $\left( N \right)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và tạo với trục của $\left( N \right)$ một góc bằng $30{}^\circ $, ta được thiết diện là tam giác $SAB$ vuông và có diện tích bằng $4{{a}^{2}}$. Chiều cao của hình nón bằng
A. $a\sqrt{2}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $2a\sqrt{2}$.
D. $2a\sqrt{3}$.
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB. Khi đó $SE\bot AB$ và $SE=\dfrac{1}{2}AB$.
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.AB.SE=4{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SE=2a$.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OE \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOE \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$.
Do đó $\widehat{\left( SO,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{\left( SO,SH \right)}=\widehat{OSH}=\widehat{OSE}=30{}^\circ $.
Tam giác vuông SOE có $SO=SE.\cos \widehat{OSE}=a\sqrt{3}$.
A. $a\sqrt{2}$.
B. $a\sqrt{3}$.
C. $2a\sqrt{2}$.
D. $2a\sqrt{3}$.
Gọi E là trung điểm AB. Khi đó $SE\bot AB$ và $SE=\dfrac{1}{2}AB$.
Ta có ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}.AB.SE=4{{a}^{2}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AB=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SE=2a$.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OE \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOE \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Suy ra $OH\bot \left( SAB \right)$.
Do đó $\widehat{\left( SO,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{\left( SO,SH \right)}=\widehat{OSH}=\widehat{OSE}=30{}^\circ $.
Tam giác vuông SOE có $SO=SE.\cos \widehat{OSE}=a\sqrt{3}$.
Đáp án B.