Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải chi tiết

Tam giác nội tiếp trong đường tròn có là đường kính nên hay
Tam giác nội tiếp đường tròn có là đường kính nên
Suy ra:
Tam giác nội tiếp trong đường tròn có là đường kính nên
Suy ra:
Tứ giác có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Tam giác vuông tại có
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Tam giác vuông tại có
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Từ và suy ra:
Gọi là trung điểm của là trung điểm của là giao điểm của với
Vì là hình chữ nhật nên
Tam giác cân tại nên
Tam giác cân tại nên
Vì nên
Từ và suy ra: hay
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Tam giác cân tại nên
Tam giác cân tại nên
Vì nên
Từ và suy ra: hay
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Gọi là trung điểm của
Tứ giác là hình chữ nhật nên
Trong tam giác ta có: nên
Vì không đổi nên là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi trùng với
Vậy là trung điểm của thì có độ dài lớn nhất.