Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(( AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có đường kính \(BC.\) Kẻ dây \(AD\) vuông góc với \(BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(DB\) và \(CA.\) Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BC,\) cắt \(BC\) ở \(H,\) cắt \(AB\) ở \(F.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) Tam giác \(EBF\) là tam giác cân ;
\(b)\) Tam giác \(HAF\) là tam giác cân ;
\(c)\) \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
\(a)\) Tam giác \(EBF\) là tam giác cân ;
\(b)\) Tam giác \(HAF\) là tam giác cân ;
\(c)\) \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.
+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
Xét đường tròn (O) có đường kính \(BC\bot AD\) tại I nên I là trung điểm của dây AD (định lý)
Suy ra \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)
Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)
Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)
và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)
Do đó \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\)
Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)
\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến.
Suy ra \(HE = HF\)
Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)
\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)
Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\) \((3)\)
Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)
Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Sử dụng kiến thức:
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.
+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).
Xét đường tròn (O) có đường kính \(BC\bot AD\) tại I nên I là trung điểm của dây AD (định lý)
Suy ra \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)
Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)
Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)
và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)
Do đó \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\)
Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)
\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến.
Suy ra \(HE = HF\)
Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)
Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)
\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)
Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)
Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\) \((3)\)
Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)
Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)