Google
Câu hỏi: Nêu các công thức biến đổi lượng giác đã học.
Lời giải chi tiết
*) Các hệ thức lượng giác cơ bản
\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\2)\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left({\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left({\alpha \ne k\pi } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi)\\5)1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne k\pi)\\6)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne \dfrac{{k\pi }}{2})\end{array}\)
*) Công thức cộng
\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\) \(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)
*) Công thức nhân đôi
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)
\(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \\= 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)
\(\tan 2\alpha = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)
*) Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)
*) Công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\\\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\end{array}\)
*) Công thức biển đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a - b}}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \dfrac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \dfrac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\)
*) Các hệ thức lượng giác cơ bản
\(\begin{array}{l}1){\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\2)\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left({\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)\\3)\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\left({\alpha \ne k\pi } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}4)1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}(\alpha \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi)\\5)1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}(\alpha \ne k\pi)\\6)\tan \alpha .\cot \alpha = 1(\alpha \ne \dfrac{{k\pi }}{2})\end{array}\)
*) Công thức cộng
\(\begin{array}{l}\sin (a + b) = \sin a.\cos b + \sin b.\cos a\\\sin (a - b) = \sin a.\cos b - \sin b.\cos a\\\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\\\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\end{array}\) \(\begin{array}{l}\tan (a + b) = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\\tan (a - b) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\end{array}\)
*) Công thức nhân đôi
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \)
\(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \\= 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)
\(\tan 2\alpha = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)
*) Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{c}{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\\{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\\{\tan ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{{1 + \cos 2\alpha }}\end{array}\)
*) Công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\\\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) - \cos (a - b)} \right]\\\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]\end{array}\)
*) Công thức biển đổi tổng thành tích
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}.\cos \dfrac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}.\sin \dfrac{{a - b}}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\tan a + \tan b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\tan a - \tan b = \dfrac{{\sin (a - b)}}{{\cos a.\cos b}}\\\cot a + \cot b = \dfrac{{\sin (a + b)}}{{\sin a.\sin b}}\\\cot a - \cot b = \dfrac{{\sin (b - a)}}{{\sin a.\sin b}}\end{array}\)